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천재 수학자 칸토어 집합론, 1874년 발표 당시 "신 모독" 유럽서 뭇매

중앙일보 2013.06.14 03:40 9면
숫자와 기호로만 이뤄져 재미없고 딱딱하기만 한 수학도 알고 보면 흥미로운 사람과 역사 이야기를 담고 있다. 그 동안 꼭꼭 숨겨 놓았던 수학사, 수학자, 수학원리, 수학의 실생활,유래 등에 대해 스토리텔링 수학을 시작한 신동엽 휴브레인 대표원장으로부터 수학 속에 숨은 재미있는 이야기를 들어봤다


신동엽 휴브레인 원장의 재미있는 수학 이야기

고대문명이 예외 없이 큰 강 유역에서 일어난 것은 농업과 밀접한 관계가 있다. 우기에 강이 범람하면 측량이 필요했고 이는 기하학의 발달을 촉진시켰다. 나일강의 이집트 문명, 유프라테스강의 바빌로니아 문명, 갠지즈강의 인도 문명, 황하와 중국의 고대문명에서 기하학의 발달은 필수적이었다. 기하학의 발달 없이 이집트의 피라미드를 상상할 수 있었을까.



집합 이야기 … 수학의 본질은 자유



집합을 처음 발표한 천재 수학자 칸토어. 현대의 모든 수학은 집합에서 시작해 집합으로 흘러 들어간다고 해도 과언이 아니다. 현대 수학의 거의 모든 이론이 집합론을 토대로 이뤄서 있을졍도로 중요하다. 하지만 1874년 독일의 수학자 칸토어가 29세 되던 해에 발표한 집합론은 당시의 유럽에서 엄청난 비난을 받았다고 한다.



당시 유럽 사람들과 수학 학자들은 신만이 무한하다고 생각하고 있었는데 수학자들이 금기시했던 무한집합을 문제 삼아 무한의 개념을 밝히고 무한에도 여러 단계가 있다는 것을 발표한 것이다. 무한의 수학인 집합론을 수학적으로 설명했기에 이는 신을 모독한 행위라고 여겼다.



 칸토어의 집합론을 가장 맹렬히 비난한 사람은 다름 아닌 칸토어의 지도교수였던 크로네커였다. 크로네커는 철저하게 집합론을 배척하고 칸토어의 앞길까지 막았다. 그로 인해 칸토어는 상처를 입어 정신질환을 앓게 되고 결국 죽음까지 이르게 된다. 칸토어가 위대한 것은 당시 유럽을 지배하던 권위적인 견해와 새로운 것을 거부하는 세계에 맞서 싸우며 ‘수학의 본질은 자유에 있다’는 유명한 명언을 남겼기 때문이다.



 당시 엄청난 비난을 몰고 왔던 칸토어의 집합론은 무엇일까. 일대일 대응이 바로 집합론의 뿌리가 됐다. ‘두 집합 사이에 일대 일 관계가 성립할 때 두 집합의 원소의 개수는 같다’라는 약속부터 생각해보면 원소의 개수가 정확히 나와 있는 유한집합은 별다른 이견이 없지만 문제는 무한이다.



고정 관념을 버리고 생각해 보면 무한집합인 자연수 전체의 집합과 자연수의 부분집합이면서 역시 무한집합인 홀수의 집합의 개수를 비교해보면 일대 일 대응이 성립하면서 원소의 개수가 같게 된다.



 ‘자연수 N=1, 2, 3, 4, 5, 6 … (자연수와 홀수 사이에 일대 일 대응 화살표 표시하기), 홀수 O=1, 3, 5, 7, 9, 11 … ’ 이와 같은 방법으로 서로 짝을 이루게 되면 자연수도 무한하지만 홀수도 무한하기에 결국 일대 일 대응이 이루어지며 두 집합의 원소의 개수는 같게 된다. 홀수가 자연수의 부분인데도 이와 같은 무한의 세상에서는 부분이 전체와 같아질 수 있다는 이야기다.



독일 수학자 힐베르트의 무한 호텔 이야기



휴브레인 천안캠퍼스 신동엽 원장
힐베르트 호텔이 내세운 문구가 있다. 이 문구를 보면 의문이 생긴다. “아무리 많은 분이 찾아오셔도 방은 언제나 준비돼 있습니다.” 이 문구를 본 한 신문사 기자가 이상하게 생각해 호텔에 전화를 걸어 질문을 했다. “만약 모든 객실이 꽉 찼는데 새로운 손님이 찾아오면 어떻게 방을 내 줄 건가요” 그랬더니 호텔의 종업원은 문제 될게 없다며 다음과 같이 대답했다고 한다.



“손님들에게 자기 객실번호 보다 하나 더 큰 번호의 객실로 옮겨 달라고 하면 간단하게 해결됩니다. 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로, … 그러면 N호실 손님은 N+1호실로 옮겨지게 돼 새로운 손님을 1호실로 안내하면 됩니다.”



 다시 질문이 이어졌다. “자연수만큼 무한의 손님이 들어 닥치면 그때는 어떻게 하나요” 하지만 종업원은 다음과 같이 대답했다. “현재 머물고 있는 손님들에게 자기 객실 번호의 2배가 되는 번호의 객실로 옮겨달라고 부탁하면 됩니다. 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로, … 그러면 홀수 객실로 들어가면 됩니다.” 이 호텔을 독일의 수학자 힐베르트가 만들어 냈다고 해서 힐베르트의 무한호텔이라고 불리는 무한세상 이야기다.



글=강태우 기자

일러스트=박소정
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